Twitterをやっていたら， 
id:anatofuz くんがおもしろ問題をやっていた．Perl入学式で出題されたらしい．
問題はこういうの．
毎週火曜日のペアプロ講習用に作成した問題を昨晩の #Perl入学式 オンラインミーティングで紹介したので Twitter でも紹介。情勢が収束したらまた懇親会でピザを食べつつお題に興じたい。 pic.twitter.com/n68luVPNEg
— OGATA Tetsuji (@xtetsuji) 2020年7月26日
大人気なくもやってみたくなりました．
Perlはみんなやっているでしょうから，ループをごりごり回すのはCommon Lispの得意技(要出典)なので書いてみましょう．
だいたいこういう感じになりました．loopマクロだとちょっと不足なのでiterateライブラリを使っています．
感想
完走した感想ですが・・・
iterマクロ
まずiterマクロの強力さがすばらしいですね．
繰り返し処理だけに特化した，非常によくできたライブラリです．ほぼこれで完結しています．
隅っこ判定
ボールが隅っこにある判定がちょっとバンカラな感じになっています．
(until (or (and (eq x 1) (eq y 1)) (and (eq x 1) (eq y wy)) (and (eq x wx) (eq y 1)) (and (eq x wx) (eq y wy))))
これは
(member (list x y) `((1 1) (1 ,wy) (,wx 1) (,wx ,wy)))
ってふうにも書けてオシャレなのですが，ループするたびにメモリ確保されるのはう〜んいかんでしょというわけでボツです．こっちでもいい気がします．
数学
数学初心者なのですが，これ巡回群になりませんか？なんか賢い手法が使えそうな気がします．
いったん図にしてみます．
緑のマスはビリヤードのポケット，すなわち「ゴールマス」です．壁にぶつかる度に方向が跳ね返っています．ゴールマスに到達したら終わりです．
マス目が無限に広がる場合について考える
ここでボールの座標に着目します．話を簡単にするために，ステップは0から始まるものとし，行・列の添字も0から始まるようにします． 壁にぶつかる度に増減の方向が反転するので，x軸(縦のマス)は\(0,1,2,1,0,1,2...\) といった数列になり，y軸(横のマス)は\(0,1,2,3,4,5,4,3,2,1,0,...\)といった数列になることがわかります．
そこで，「x軸は0〜2まで」「y軸は0〜5まで」という制限を取り払って，「x軸は0〜2で振動しながら永遠に伸びている」「y軸は0〜5で振動しながら永遠に伸びている」と考えてみます．これを図にすると以下の通りです．
最小公倍数
なんか九九の表みたいなものが見えませんか？ここがポイントです．実は，「0から数えた場合のステップ数が」「幅-1と高さ-1の最小公倍数になっている場合」に，なんとボールがポケットインしてしまうのだ!!!!!!! 幅と高さを\(w,h\)としたとき，今回の\(w,h=(6,3)\)のビリヤードは， \(LCM(w-1,h-1) = 10\) ステップ(0から数えた場合)でゴールします．プログラムによれば11回(1から数えた場合)でゴールすると表示されているので，今回の結果と合致しますね．
試しに\(80,50\)のビリヤードをしてみます．
... 3868: (76,46) 3869: (77,47) 3870: (78,48) 3871: (79,49) 3872: (80,50) GOAL!
1から数えて3872ステップかかりました． \(LCM(79,49)=3871\)なので，これも今回の結果と合致しますね．
そもそも「隅っこに入ったらゴール，それ以外の場合は跳ね返る」という構図自体が，最小公倍数を求める仕組みになっている，と考えることもできそうです． もう少し推し進めると，任意のステップ\(n\)を渡して座標を求める，といったこともできそうですが，今回は割愛します．
合計ステップ数を高さで割ると，上下の壁に衝突した回数が割り出せそうな気がしていて，同様に幅でも同じことができるので，ボールのベクトルが分かるはずで，すると剰余をもとに正確に座標が求められる気がする(全て勘です)
— フェネック (@windymelt) 2020年7月26日
おわり
めでたし
